O problemă de geometrie la gimnaziu se rezolvă în patru pași: desenul, scrierea ipotezei și a concluziei, căutarea drumului de la ce se știe la ce se cere și redactarea demonstrației cu justificări. Cei mai mulți elevi se blochează la al treilea pas, dar cauza este adesea în primii doi: un desen înghesuit sau o ipoteză scrisă incomplet. O metodă de lucru constantă face problemele noi mai puțin intimidante.
Cum se face un desen bun la o problemă de geometrie?
Un desen bun este mare, făcut cu rigla și compasul și reprezintă figura în cazul general, nu într-un caz particular. Un triunghi oarecare desenat din greșeală aproape isoscel poate sugera egalități care nu sunt adevărate și pot induce în eroare.
- Figura ocupă cel puțin o treime din pagină, ca literele și marcajele să încapă.
- Segmentele congruente se marchează cu același număr de liniuțe, iar unghiurile congruente cu același număr de arce.
- Unghiurile drepte se marchează cu pătrățelul specific.
- Elementele construite pe parcurs, cum ar fi o înălțime sau o mediană, se pot trasa cu altă culoare.
Cum se scriu ipoteza și concluzia?
Ipoteza cuprinde tot ce spune enunțul despre figură, iar concluzia cuprinde exact ce trebuie demonstrat sau calculat, ambele scrise cu notațiile matematice. Ele se trec de obicei într-un tabel cu două rubrici, alături de desen.
De exemplu, pentru enunțul „În triunghiul ABC, cu AB = AC, se duce mediana AM. Să se arate că AM este perpendiculară pe BC”, ipoteza este: ΔABC, [AB] ≡ [AC], M mijlocul lui [BC]. Concluzia este: AM ⊥ BC. Orice informație din enunț care lipsește din ipoteză este o informație pe care elevul riscă să nu o folosească.
Cum se găsește drumul spre demonstrație?
Drumul spre demonstrație se găsește cel mai ușor pornind de la concluzia cerută și întrebând ce ar fi suficient pentru a o obține. Metoda se numește analiză.
- Se formulează întrebarea: „Ce trebuie să știu ca să obțin concluzia?” În exemplu: dacă unghiurile AMB și AMC sunt congruente, ele sunt drepte, pentru că sunt adiacente suplementare.
- Se caută o cale spre acel rezultat: unghiurile pot fi congruente dacă triunghiurile ABM și ACM sunt congruente.
- Se verifică dacă ipoteza oferă elementele necesare: [AB] ≡ [AC], [BM] ≡ [CM], iar [AM] este latură comună.
- Drumul se scrie apoi în ordine directă, pornind de la ipoteză.
Acest mod de a întreba ce lipsește este o formă concretă de raționament, apropiată de exercițiile descrise în articolul despre dezvoltarea gândirii critice.
Care sunt cazurile de congruență folosite cel mai des?
Cele mai multe demonstrații de gimnaziu trec prin congruența a două triunghiuri, stabilită printr-unul dintre cazurile de mai jos.
| Caz | Ce trebuie arătat | Se aplică la |
|---|---|---|
| LUL | Două laturi și unghiul dintre ele | Orice triunghiuri |
| ULU | O latură și cele două unghiuri alăturate ei | Orice triunghiuri |
| LLL | Toate cele trei laturi | Orice triunghiuri |
| C.C. | Cele două catete | Triunghiuri dreptunghice |
| C.U. | O catetă și un unghi ascuțit | Triunghiuri dreptunghice |
| I.C. | Ipotenuza și o catetă | Triunghiuri dreptunghice |
| I.U. | Ipotenuza și un unghi ascuțit | Triunghiuri dreptunghice |
În exemplul de mai sus se aplică LLL. Ordinea vârfurilor în scrierea congruenței contează: ΔABM ≡ ΔACM înseamnă că A corespunde lui A, B lui C și M lui M.
Cum se redactează demonstrația?
Demonstrația se redactează ca un șir de afirmații, fiecare urmată de justificarea ei între paranteze: din ipoteză, latură comună, unghiuri opuse la vârf, o teoremă cu numele ei sau un rezultat obținut anterior. La final se scrie explicit că s-a obținut concluzia cerută.
Redactarea completă contează la evaluări, unde punctajul se acordă adesea pe etape. O afirmație corectă, dar nejustificată, poate pierde o parte din puncte.
Ce greșeli apar frecvent și cum se exersează?
Greșelile frecvente sunt folosirea concluziei ca argument, deducerea unor egalități doar pentru că „așa arată desenul” și omiterea unei condiții din cazul de congruență ales, de exemplu un unghi care nu este cel cuprins între cele două laturi.
- Problemele rezolvate în clasă se refac acasă fără caiet, pornind doar de la enunț.
- La fiecare problemă nouă se scrie întâi analiza, pe ciornă, și abia apoi redactarea.
- Teoremele învățate se trec într-o listă proprie, cu desenul și condițiile de aplicare.
Câteva probleme lucrate atent valorează mai mult decât multe rezolvate în grabă, iar timpul pentru ele se planifică la fel ca pentru celelalte materii, după sugestiile din articolul despre gestionarea timpului pentru elevi. Jocurile de logică și construcțiile geometrice, prezentate în ghidul pentru educația prin jocuri interactive, pot completa exercițiul clasic.
